Zahlenspielerei

Gesetzt der Fall, die Ereignisse und Zustände dieser Welt hängen “irgendwie” zusammen. Weiter gesetzt der Fall, es gibt eine (für einen spezielle Anwendung) relevante Menge an Ereignisse und Zustände k(n) dieser Welt, die hinreichend genau durch eine Zahl, errechnet als lineare Funktion, abgebildet werden könnten; dann können diese Ereignisse und Zustände als ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) formuliert werden:
a(n,m)*x(n,m)+a(n-1,m)*x(n-1,m)+a(n-2,m)*x(n-2,m)…. + a(1,m)*x(1,m) = k(m)

a(n,m-1)*x(n,m-1)+a (n-1,m-1)*x(n-1,m-1)+…..a(1,m-1)*x(1,m-1) = k(m-1)

…
a(n,1)*x(n,1)+a(n-2,1)*x(n-2,1)+…a(1,1)*x(1,1) = k(1)

Dieses LGS könnte mithilfe des Gauß’schen Eliminationsverfahren aufgelöst werden. Das funktioniert auch ganz wunderbar, wenn die Spaltenvektoren a (i,j) linear abhängig voneinander sind und m >= n ist, also die Anzahl der Zeilen mindestens die Anzahl der Spalten ist.

Ein Beispiel! Nehmen wir Aktien. Die Aktienwerte dieser Welt sind sicher wesentlich stärker aneinander gekoppelt als irgendwelche anderen Werte dieser Welt. Sinkt ein Hauptwert, so kann das gerne einmal zu einer Kettenreaktion führen, und eine ganze Börse in den Ruin treiben. Sinken mehrere Werte gleichzeitig (z.B. weil ein gemeinsamer Aktieneigner sein Depot konsolidiert), so ist die Gefahr ungleich größer, und nahezu wahrscheinlich ist der Börsencrash, wenn sich in der Runde der Aktieneigner eine schlechte Laune, Panik oder ähnliches ausbreitet. Man kann also mit einiger Berechtigung sagen, daß die Börsenkurse unterschiedlicher Aktien stark aneinander gekoppelt sind. Dehnt man dann das zeitliche Fenster aus, so gibt es irgenwann einen Punkt, ab dem man auch von einer (positiven oder negativen) linearen Kopplung der zeitlichen Mittelwerte reden kann. Aktienkurse sind also bestens geeignet für unser kleines Zahlenspiel!

Es sei jede Zeile 1 <= j <= m die Formel für einen Aktienkurs, k(j) also der Mittelwert des Aktienkurses j in einem von uns beliebig aber für alle Kurse festen Intervall. x(i,j) seien die Aktienkurse innerhalb des Intervalls i für 1 <= i <= n. Wenn wir eine Post-Mortem-Analyse fahren, können wir also sowohl die xen als auch die ks in das LGS eintragen. Aber was nützt es uns, wenn wir ein Gleichungssystem aufstellen für Werte x (i,j), wenn wir dann diese Werte einsetzen?

Die Koeffizienten a(i,j), das sind in diesem Fall die wirklich interessanten Werte. Sie bestimmen nämlich, wie stark die unterschiedlichen Aktienkurse x(i,.j) aneinander gekoppelt sind. Sind in einer Spalte (also festes i, variables j) mehrere Werte besonders stark ausgeprägt und andere Werte jedoch sehr gering, so deutet das auf eine starke Korrelation der AKtienwerte (über die übliche Börsenkorrelation hinaus) hin; das heißt, diejenigen Werte mit einem großen a(i,j) hängen “irgendwie” zusammen, sind also wesentlich stärker zueinander gekoppelt als die anderen Werte - in diesem Zeitintervall.
Das bedeutet weiter - wenn ich also eine Korrelation für zwei Aktien gefunden habe und bekomme eine Neuigkeit fur eine der beiden Aktien - dann hilft mir das bei der Vorhersage des anderen Wertes. Freilich wird diese Vorhersage umso ungenauer, je “heißer” eine Situation ist, oder je kleiner das zeitliche Intervall ist.Und umso nutzloser, je größer das zeitliche Intervall ist.

Stellt sich nur noch die Frage: wie bekomme ich die Werte a(i,j).
Wenn wir uns vor Augen führen was wir zuerst wissen wollen, nämlich welche Werte wie gekoppelt sind, können wir den Wertebereich für die a(i,j) stark einschränken. Setzen wir -1 = stark negativ gekoppelt, 0 = normal gekoppelt, 1 = stark positiv gekoppelt; um den Korrekturwert irgendwie zu greifen, führen wir für jede Zeile r(j) ein, der die Ungenauigkeit der Annahme repräsentiert, und ziehen diesen rechts von k(j) ab. dann sind diejenigen Zeilen für uns interessant, bei denen die Ungenauigkeit r(j) hinreichend gering ist.

Trotzdem dürften jetzt schon einige Zeilen herausfallen. Und über den Rest, da kümmer ich mich ein andermal

Dieser Eintrag wurde am 16.4.2007 um 11:16 verfasst und befindet sich in Angewandte Wissenschaft. Sie können alle Antworten zu diesem Eintrag über den Feed RSS 2.0 mitverfolgen. Hinterlassen Sie eine Antwort oder einen Trackback-Link zu Ihrer eigenen Homepage.

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